线性代数笔记

线性代数概览

本质——线性变换

\[\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\end{pmatrix}}\\A\end{matrix}\cdot K_{m\times l}=\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}b_1,b_2,\cdots,b_l\end{pmatrix}}\\B\end{matrix}\]

  • 矩阵视角：\(B\) 是 \(A\) 与 \(K\) 的乘积
  • 方程视角：\(K\) 是方程 \(AX=B\) 的解
  • 向量视角：向量组 \(B\) 能由向量组 \(A\) 线性表出

两条主线：线性方程组、矩阵对角化

计算——矩阵的行变换

  • 求逆矩阵：\(\displaystyle\begin{pmatrix}\begin{array}{c:c}A&E \end{array}\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\begin{array}{c:c}E&A^{-1}\end{array}\end{pmatrix}\)
  • 求解线性方程组 \(AX=B\)：将伴随矩阵 \(\displaystyle\begin{pmatrix}\begin{array}{c:c}A&B \end{array}\end{pmatrix}\) 化为行阶梯型

线性方程组

flowchart LR
  线性方程组 --> 齐次 --> 有零解
  齐次 --> 有非零解
  线性方程组 --> 非齐次 --> 有解
  有解 --> 唯一解
  有解 --> 无穷多解
  非齐次 --> 无解

非齐次线性方程组

\[ \left\{\begin{array}{c}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_2\\\vdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_n\end{array}\right. \]

矩阵形式

\[\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{pmatrix}}\\A\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\\end{pmatrix}}\\X\end{matrix}=\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\\\end{pmatrix}}\\B\end{matrix}\] \[记\,\bar{A}=\begin{pmatrix}\begin{array}{cccc:c}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&b_n\end{array}\end{pmatrix}\]

有解

矩阵与其伴随矩阵秩相等：\(r\left(A\right)=r\left(\bar{A}\right)\)

  • 唯一解：\(r\left(A\right)=r\left(\bar{A}\right)=n\)
  • 无穷多解：\(r\left(A\right)=r\left(\bar{A}\right)\lt n\)

无解

矩阵与其伴随矩阵秩不等：\(r\left(A\right)\neq r\left(\bar{A}\right)\)

向量形式

\[x_1\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{n1}\\\end{pmatrix}}\\\vec{\alpha_1}\end{matrix}+x_2\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots\\a_{n2}\\\end{pmatrix}}\\\vec{\alpha_2}\end{matrix}+\cdots+x_n\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{nn}\\\end{pmatrix}}\\\vec{\alpha_n}\end{matrix}=\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\\\end{pmatrix}}\\\vec{b}\end{matrix}\]

有解

\(\vec{b}\) 能由\(\vec{\alpha_1},\,\vec{\alpha_2},\,\cdots,\,\vec{\alpha_n}\) 线性表示

无解

\(\vec{b}\) 不能由\(\vec{\alpha_1},\,\vec{\alpha_2},\,\cdots,\,\vec{\alpha_n}\) 线性表示

齐次线性方程组

\[ \left\{\begin{array}{c}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_{n}=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_{n}=0\\\vdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_{n}=0\end{array}\right. \]

矩阵形式

\[\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{pmatrix}}\\A\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\\end{pmatrix}}\\X\end{matrix}=0\]

只有零解

矩阵 \(A\) 满秩：\(r\left(A\right)=n\)
行列式不等于零：\(\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\neq 0\)

有非零解

矩阵 \(A\) 降秩：\(r\left(A\right)<n\)
行列式等于零：\(\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=0\)

向量形式

\[x_1\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{n1}\\\end{pmatrix}}\\\vec{\alpha_1}\end{matrix}+x_2\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots\\a_{n2}\\\end{pmatrix}}\\\vec{\alpha_2}\end{matrix}+\cdots+x_n\begin{matrix}\underbrace{\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{nn}\\\end{pmatrix}}\\\vec{\alpha_n}\end{matrix}=\vec0\]

只有零解

\(\vec{\alpha_1},\,\vec{\alpha_2},\,\cdots,\,\vec{\alpha_n}\) 线性无关

有非零解

\(\vec{\alpha_1},\,\vec{\alpha_2},\,\cdots,\,\vec{\alpha_n}\) 线性相关

基础解系

设矩阵 \(A_{m\times n},\,r\left(A\right)=r\)，对于齐次线性方程组 \(AX=0\)：

若：

  1. \(\xi_1,\,\xi_2,\,\cdots,\,\xi_s\) 为 \(AX=0\) 的解；
  2. \(\xi_1,\,\xi_2,\,\cdots,\,\xi_s\) 线性无关；
  3. \(s=n-r\)

称 \(\xi_1,\,\xi_2,\,\cdots,\,\xi_s\) 为 \(AX=0\) 的基础解系（也是解向量组的极大无关组）。

找出方程组的通解

将矩阵化为行最简形，找到阶梯线后的列作为非自由变量，其它变量为自由变量（个数为变量个数减去矩阵的秩）

例：求出方程组 \(AX=0\) 的通解（其中 \(A=\left(\begin{smallmatrix}1&2&-1&1\\1&1&3&-1\\2&5&1&1\\\end{smallmatrix}\right)\)）

解： 1. 将矩阵化为行最简形： \[A\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&7&-3\\0&1&-4&2\\0 &0&0&0\end{pmatrix}\]

其表达的意思等同于下列方程组： \(\left\{\begin{array}{ll}x_1=-7x_3+3x_4\\x_2=4x_3-2x_4\end{array}\right.\)

  1. 求出矩阵的秩：\(r\left(A\right)=2\)，即有两个非自由变量，将矩阵 \(X\) 写成如下形式（向量的个数等于变量的个数减去 \(r\left(A\right)\) ）： \[X=k_1\vec{\alpha_1}+k_2\vec{\alpha_2}\]

  2. 求出向量 \(\vec{\alpha_1},\,\vec{\alpha_2}\)：找出自由变量的列数，并用 \(0,\,1\) 写在向量对应的行数：\(x_3,\,x_4\) 是自由变量，\(x_1,\,x_2\) 是非自由变量

    \[\vec{\alpha_1}=\begin{pmatrix}\square\\\square\\1\\0\end{pmatrix},\,\vec{\alpha_2}=\begin{pmatrix}\square\\\square\\0\\1\end{pmatrix}\]

    其它行则先将自由变量的系数取反后顺序填入： \[\vec{\alpha_1}=\begin{pmatrix}-7\\4\\1\\0\end{pmatrix},\,\vec{\alpha_2}=\begin{pmatrix}3\\-2\\0\\1\\\end{pmatrix}\]

  3. 写出通解： \[X=k_1\begin{pmatrix}-7\\4\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}3\\-2\\0\\1\end{pmatrix}\]

对于非齐次线性方程组则仅需将自由变量对应的行全部取为0，然后其它位置填上 \(\bar{A}\) 的最后一列的非零数即可。

矩阵

矩阵的运算

矩阵的乘法：只有前列后行标相同才可以相乘，如\(A_{m\times n}\)和\(B_{n\times s}\)，得到的矩阵的行列数为前行后列，即\({AB}_{m\times s}\)。

  • 性质
    • \(A\neq0,\,B\neq0\nRightarrow AB\neq0\)
    • \(A\neq0\nRightarrow A^k\neq0\)

矩阵的属性

flowchart TB
  矩阵 --- 行列式
  矩阵 --- 特征值
  矩阵 --- 特征向量
  矩阵 --- 迹
  矩阵 ---- 秩
  subgraph 方阵
    行列式
    特征值 --特征值之积--> 行列式
    特征值 --特征值之和--> 迹
    特征向量
  end

行列式

\[ D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_1j_2\cdots j_n}{\left(-1\right)^{\tau\left(j_1j_2\cdots j_n\right)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} } \]

\(Laplace\) 展开： \[ \begin{vmatrix}D\end{vmatrix} = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in} = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj} \]

特殊的行列式：

  • 上/下三角行列式

    \[ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{i=1}^{n}a_{ii} \]

  • 分块行列式 \[ \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{D} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = \left|\boldsymbol{A}\right|\left|\boldsymbol{B}\right| \]

  • \(Vandermonde\) 行列式

    \[\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_1^2&a_2^2&\cdots&a_n^2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{n\geq i\gt j\geq 1}\left(a_i-a_j\right)\]

  • 箭形（爪形）行列式

    \[\begin{vmatrix}a_1&1&1&\cdots&1\\1&a_2&0&\cdots&0\\1&0&a_3&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&0&\cdots&a_n\end{vmatrix}\;\left(a_2a_3\cdots a_n\neq0\right)\] \[\xlongequal{c_1-\frac{1}{a_2}c_2-\frac{1}{a_3}c_3-\cdots-\frac{1}{a_n}c_n}\begin{vmatrix}a_1-\frac{1}{a_2}-\cdots-\frac{1}{a_n}&1&1&\cdots&1\\0&a_2&0&\cdots&0\\0&0&a_3&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&a_n\end{vmatrix}\] \[=\prod_{i=2}^{n}a_i\left(a_1-\sum_{j=2}^{n}\frac{1}{a_j}\right)\]

特征值与特征向量

设 \(n\) 阶方阵 \(A_{n\times n}\)，若存在数 \(\lambda\)（不一定是实数）以及非零向量 \(\vec\alpha\)，使得 \(A\vec\alpha=\lambda\vec\alpha\)，则称 \(\lambda\) 为矩阵 \(A\) 的特征值，\(\vec\alpha\) 为 \(\vec\lambda\) 对应的特征向量。

要求解特征向量与特征值，则需把定义的等式转化为其它形式：

\(A\alpha=\lambda\alpha\Rightarrow\left(\lambda E-A\right)\alpha=0\)。

\(\because\alpha\neq0\,\,\therefore\left(\lambda E-A\right)X=0有非零解\Rightarrow\left|\lambda E-A\right|=0\)。

最终得到的等式即特征方程。

性质：

  • 若 \(A\vec\alpha=\lambda\vec\alpha\) 成立，则 \(f\left(A\right)\vec\alpha=f\left(\lambda\right)\vec\alpha\) 同样成立。
  • 若方阵 \(A\) 可逆，则 \(\displaystyle A^{-1}\alpha=\frac{1}{\lambda}\alpha,\,A^\ast\alpha=\frac{\left|A\right|}{\lambda}\alpha\)

秩

本质上是线性方程组的约束条件个数。

设矩阵 \(A_{m\times n}\)，在 \(A\) 中任取 \(r\) 行 \(r\) 列，构成 \(r\) 阶行列式，称为 \(A\) 的 \(r\) 阶子式（个数：\(C_m^rC_n^r\)）

若：

  1. 存在不为零的 \(r\) 阶子式
  2. 任意 \(r+1\) 阶子式要么不存在要么为零

则 \(r\) 为矩阵 \(A\) 的秩 (Rank)，记为 \(r\left(A\right)=r\)

对于 \(n\) 阶可逆矩阵，由于 \(\left|A_{n\times n}\right|\neq0\)，故 \(r\left(A\right)=n\)。又因为其阶数与其秩相等，故称其为满秩矩阵。同理，如果方阵不可逆则 \(\left|A\right|=0\)，其最高阶非零子式的阶数必定小于 \(n\)，称其为降秩矩阵。

矩阵秩的性质：

  1. 矩阵秩必小于等于其行标列标的最小值：\(r\left(A_{m\times n}\right)\le\min{\left\{m,\ n\right\}}\)
    • \(r\left(A\right)=0\Leftrightarrow A=0\)
    • \(r\left(A\right)\geq1\Leftrightarrow A\neq0\)
    • \(r\left(A\right)\geq2\Leftrightarrow A\) 至少有2行不成比例
  3. 矩阵与其转置矩阵的秩相等： \(r\left(A\right)=r\left(A^T\right)=r\left(AA^T\right)=r\left(A^TA\right)\)
  4. 矩阵作加减运算得到新矩阵的秩必小于等于原矩阵秩的加减：\(r\left(A\pm B\right)\le r\left(A\right)+r\left(B\right)\)
  5. 矩阵相乘后秩小于等于原任一矩阵的秩：\(r\left(AB\right)\le r(A)、r\left(AB\right)\le r\left(B\right)、r\left(AB\right)\le\min{\left\{r\left(A\right),r\left(B\right)\right\}}\)
  6. 矩阵相乘为零阵，秩之和小于等于内标：\(A_{m\times n},\,B_{n\times s}\)，且 \(AB=0\)，则 \(r\left(A\right)+r\left(B\right)\le n\)
  7. 矩阵与可逆阵相乘，秩不变：若 \(n\) 阶方阵 \(P,\,Q\) 可逆，则 \(r\left(A\right)=r\left(PA\right)=r\left(AQ\right)=r(PAQ)\)
  8. 伴随矩阵的秩与原矩阵秩的关系：\(r\left(A^\ast\right)=\left\{\begin{array}{ll}n&r\left(A\right)=n\\1&r\left(A\right)=n-1\\0&r\left(A\right)\lt n-1\end{array}\right.\)

矩阵的关系

flowchart TB
  矩阵 --可逆方阵--> 相似 & 合同

方阵相似

设 \(n\) 阶矩阵 \(A,\,B\)，若存在可逆矩阵 \(P\) 使得 \(P^{-1}AP=B\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 相似，记为 \(A~B\)。

方阵的相似对角化

设 \(n\) 阶方阵，若存在可逆阵 \(P\) 使得 \(P^{-1}AP\) 为对角阵，则称 \(A\) 可对角化（即 \(A\) 与某一对角矩阵相似）

\(n\) 阶方阵可对角化的充要条件是存在 \(n\) 个线性无关的特征向量。

方阵可对角化的判定

  • \(n\) 阶方阵 \(A\) 有 \(n\) 个互不相同的特征值 \(\to A\) 可对角化
  • \(n\) 阶方阵 \(A\) 互异的特征值为 \(\lambda_1,\,\lambda_2,\,\cdots,\,\lambda_m\)，重数依次为 \(r_1,\,r_2,\,\cdots,\,r_m\Leftrightarrow\forall\lambda_i\)，\(A\) 有 \(r_i\) 个线性无关的特征向量。

方阵对角化的过程

  1. \(\left|\lambda E-A\right|=0\Rightarrow\lambda_1,\,\lambda_2,\ \cdots,\,\lambda_n\)

  2. \(\left(\lambda_iE-A\right)X=0\Rightarrow\vec{\alpha_1},\,\vec{\alpha_2},\,\cdots,\,\vec{\alpha_m}\,(m\le n)\)

  3. 仅当 \(m=n\) 时才可以对角化

    由 \(\left(A\vec{\alpha_1},\,A\vec{\alpha_2},\,\cdots,\,A\vec{\alpha_n}\right)=\left(\lambda_1\vec{\alpha_1},\,\lambda_2\vec{\alpha_2},\,\cdots,\,\lambda_n\vec{\alpha_n}\right)\) \(\require{extpfeil}\Newextarrow{\xRightarrow}{5,5}{0x21D2}\xRightarrow{P=\left(\vec{\alpha_1},\,\vec{\alpha_2},\,\cdots,\,\vec{\alpha_n}\right)}\newcommand\diag[1]{\begin{pmatrix}\begin{smallmatrix}#1_1&&&\\&#1_2&&\\&&\ddots&\\&&&#1_n\end{smallmatrix}\end{pmatrix}}AP=P\diag{\lambda}\Rightarrow P^{-1}AP=\diag{\lambda}\)

派生矩阵

flowchart TB
  矩阵 --方阵--> 伴随矩阵 & 逆矩阵
  矩阵 --> 转置矩阵

伴随矩阵

\[A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\rightarrow A^\ast=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}\] （其中 \(A_{ij}\) 为元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式）

伴随矩阵的性质：

  • \(AA^\ast=A^\ast A=|A|E\)
  • \(\left|A_{n\times n}^\ast\right|=\left|A_{n\times n}\right|^{n-1}\)

逆矩阵

别名：

  • 满秩矩阵，\(r\left(A_{n\times{n}}\right)=n\)
  • 非奇异矩阵

求法：

  • 伴随矩阵法
    • 原理：\(\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^\ast\)
  • 矩阵的初等行变换法
    • 原理：\(\displaystyle\begin{pmatrix}\begin{array}{c:c}A&E \end{array}\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\begin{array}{c:c}E&A^{-1}\end{array}\end{pmatrix}\)

存在的条件：

  • 矩阵必须为方阵
  • （充要条件）\(\left|A\right|\neq0\)

逆矩阵的性质：

  • \(\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\)
  • \(\left(kA\right)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)
  • \(\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
  • \(\left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T\)
  • \(\left|A^{-1}\right|=\left|A\right|^{-1}\)

特殊的矩阵

flowchart TB
  矩阵 --方阵--> 实对称矩阵

实对称矩阵

  • 不同特征值对应的特征向量是正交的
  • 特征值都是实数，特征向量都是实向量
  • 必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值

向量

向量组等价：若两个向量组的向量可以相互线性表示，则两向量组等价

极大线性无关组：设 \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_n\) 为向量组，若存在 \(r\) 个向量线性无关；且任取 \(r+1\) 个向量（不一定有）线性相关，则称这 \(r\) 个线性无关的向量组为极大无关组（不一定唯一），\(r\) 即向量组的秩。

⚠ 注意

  • 向量组与其极大线性无关组等价。
  • 设 \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_n\) 为向量组，则：
    • \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_n\) 线性无关\(\Rightarrow\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_n\) 为极大线性无关组 \(\Rightarrow\) 向量组的秩 \(=n\)。
    • \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_n\) 线性相关 \(\Rightarrow\) 向量组的秩 \(\lt n\)。
  • 设向量组 \(\mathrm{I}:\,\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_n;\;\mathrm{II}:\,\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_n,\,\beta\)，则：
    • \(R\left(\mathrm{I}\right)=R\left(\mathrm{II}\right)\Rightarrow\beta\) 可以由组 \(\mathrm{I}\) 线性表示
    • \(R\left(\mathrm{I}\right)=R\left(\mathrm{II}\right)+1\Rightarrow\beta\) 不可由组 \(\mathrm{I}\) 线性表示
  • 设矩阵 \(A_{m\times n},\,B_{n\times s}=\left(\beta_1,\,\beta_2,\,\cdots,\,\beta_s\right)\)，则 \(AB=\left({A\beta}_1,\,{A\beta}_2,\,\cdots,\,{A\beta}_s\right)\)
    • 例：\(A=\begin{pmatrix}\begin{smallmatrix}\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3\end{smallmatrix}\end{pmatrix},\,B=\begin{pmatrix}\begin{smallmatrix}\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3,\,2\alpha_1+\alpha_2,\,\alpha_2-4\alpha_3\end{smallmatrix}\end{pmatrix}\)，则\(B=A\begin{pmatrix}\begin{smallmatrix}1&2&0\\-1&1&1\\1&0&-4\end{smallmatrix}\end{pmatrix}\)。

向量组秩的诸性质

  • 设向量组\(\mathrm{I}:\,\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_m;\;\mathrm{II}:\,\beta_1,\,\beta_2,\,\cdots,\,\beta_n\)。若组 \(\mathrm{I}\) 可由组 \(\mathrm{II}\) 线性表示，则 \(R\left(\mathrm{I}\right)\leq R\left(\mathrm{II}\right)\)
  • 两个等价向量组的秩相等，反之不对。

向量的正交

若 \(\left(\alpha,\,\beta\right)=0\) 则 \(\alpha,\,\beta\) 正交，记为 \(\alpha\bot\beta\)。正交的向量一定线性无关。

性质：

  • 非零向量 \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_n\) 两两正交，则 \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_n\) 线性无关。

施密特正交化

设向量组 \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_n\)，经过施密特正交化（Schmidt orthogonalization）后得到的向量组为：

\[\left\{\begin{array}{l} \beta_1=\alpha_1\\ \beta_2=\alpha_2-\frac{\begin{pmatrix}\alpha_2,\,\beta_1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\beta_1,\,\beta_1\end{pmatrix}}\beta_1 \\ \beta_3=\alpha_3-\frac{\begin{pmatrix}\alpha_3,\,\beta_1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\beta_1,\,\beta_1\end{pmatrix}}\beta_1-\frac{\begin{pmatrix}\alpha_3,\,\beta_2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\beta_2,\,\beta_2\end{pmatrix}}\beta_2\\\;\,\quad\vdots\\ \beta_n=\alpha_n-\frac{\begin{pmatrix}\alpha_n,\,\beta_1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\beta_1,\,\beta_1\end{pmatrix}}\beta_1-\cdots-\frac{\begin{pmatrix}\alpha_n,\,\beta_{n-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\beta_{n-1},\,\beta_{n-1}\end{pmatrix}}\beta_{n-1} \end{array}\right. \]

二次型

标准形

只含有平方项的二次型称为二次型的标准形，其秩等于正负惯性指数之和（正惯性指数就是标准形中正平方项的个数，负惯性指数同理）

在标准形中，若平方项的系数为\(-1,\,1,\,0\)，则称其为二次型的规范形

化二次型为标准型的方法

任意实对称矩阵与对角阵合同

正交变换法

  1. 把二次型表示成矩阵形式 \(x^T\boldsymbol{A}x\)
  2. 求出 \(\boldsymbol{A}\) 的全部互异特征值 \(\lambda_i\)，设 \(\lambda_i\) 是 \(n\) 重根
  3. 对每个特征值 \(\lambda_i\)，求解齐次线性方程组 \(\left(\lambda_i\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right)x=0\)；求得基础解系，即属于 \(\lambda_i\) 的线性无关的特征向量
  4. 将 \(\boldsymbol{A}\) 的属于同一个特征值的特征向量正交化
  5. 将全部向量单位化
  6. 将向量作列，按照 \(\lambda_i\) 在对角矩阵主对角线上的位置构成正交矩阵 \(\boldsymbol{Q}\)
  7. 令\(x=\boldsymbol{Q}y\)，得 \(x^T\boldsymbol{A}x=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\)

正定二次型

若二次型 \(f=x^T\boldsymbol{A}x\) 对任意 \(x\neq0\) 都有 \(f\gt0\)，则称 \(f\) 为正定二次型，矩阵 \(A\) 称为正定矩阵。

判别法

  • \(f\) 的标准型的 \(n\) 个系数全为正
  • \(f\) 的正惯性指数为 \(n\)
  • \(f\) 的矩阵 \(A\) 的特征值全大于零
  • 存在可逆阵 \(P\)，使得 \(P^TAP=E\) 或 \(A=P^TP\)
  • \(f\) 的矩阵 \(A\) 的各顺序主子式全大于零

    • 顺序主子式

      设 \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}\begin{smallmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{smallmatrix}\end{pmatrix}\)，则 \(\displaystyle \begin{vmatrix}A_k\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}\) 称为 \(n\) 阶方阵 \(A\) 的 \(k\) 阶顺序主子式。

学习笔记
#数学
线性代数笔记
https://devexzh.github.io/2023/Note_Of_Linear_Algebra/
作者
Ryker Zhu
发布于
2023年1月27日
许可协议