高等数学笔记

对于考研数学（数学一）而言，高等数学约占60%，考研数学整张卷子一共10个选择题、6个填空题、6个解答题。

极限

极限（Limit）研究函数在 某一个小区间 上的各种性质。

趋向常数时的函数极限：\(\forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0,\,0<\left|x-x_0\right|<\delta,\,\left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon\Rightarrow\displaystyle\lim_{x\to{x_0}}{f\left(x\right)}=A\)

趋向无穷时的函数极限：\(\forall\varepsilon>0,\,\exists{X}>0,\,\left|x\right|>X,\,\left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon\Rightarrow\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{f\left(x\right)}=A\)

⚠ 注意

• \(\displaystyle\lim_{x\to{x_0}}{f\left(x\right)}\)是否存在与\(f\left(x_0\right)\)无关

• 充要条件：左右极限相等时，函数极限存在；反之亦然

  \(\displaystyle\lim_{x\to{x_0^+}}{f\left(x\right)}=\lim_{x\to{x_0^-}}{f\left(x\right)}=A\Leftrightarrow\lim_{x\to{x_0}}{f\left(x\right)}=A\)

  \(\displaystyle\lim_{x\to{+\infty}}{f\left(x\right)}=\lim_{x\to{-\infty}}{f\left(x\right)}=A\Leftrightarrow\lim_{x\to{\infty}}{f\left(x\right)}=A\)

• 极限定义的变体

  • 更改极限定义中的小于号为小于等于号 不影响 最终极限的表达，即以下两种是可以相互替换的：
    • \(0<\left|x-x_0\right|<\delta\Leftrightarrow0<\left|x-x_0\right|\leq\delta\)
    • \(\left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon\Leftrightarrow\left|f\left(x\right)-A\right|\leq\varepsilon\)
  • 极限定义中的\(\varepsilon\)可以换成任意表达式，只要
    1. 表达式 结果为正（例如： \(\forall{\gamma>0},\,\left|f\left(x\right)-A\right|<\frac1{\gamma}\)）
    2. 表达式可以 取到任意小的正数

极限的性质

1. 唯一性 （常常用来证明）

   函数极限存在，则只能存在唯一的值，否则就是不存在。

2. 局部有界性

   在某个小区域内，函数有界。

   \(\displaystyle\lim_{x\to{x_0}}{f\left(x\right)}=A\Rightarrow\exists{\delta,M>0},\,0<\left|x-x_0\right|<\delta,\,\left|f\left(x\right)\right|\leq{M}\)

3. 局部保号性（可以用来证明 \(Fermat\) 引理，经常与极值、拐点结合）

   在某个小区域内，函数值的符号与极限值的符号一致。

   \(\displaystyle\lim_{x\to{x_0}}{f\left(x\right)}=A\Rightarrow\exists{\delta>0},\,0<\left|x-x_0\right|<\delta,\) \(\left \{ \begin{array}{l}A>0\Rightarrow{f\left(x\right)>0}\\f\left(x\right)\geq0\Rightarrow{A\geq0}\end{array}\right.\)

极限的求法

夹逼准则

设函数 \(f\left(x\right),\,g\left(x\right),\,h\left(x\right)\) 满足：

1. \(\exists{\mathring{U}\left(x_0,\delta\right)}\)，有 \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}g\left(x\right)=\lim_{x\to x_0}h\left(x\right)=A\)

则 \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f\left(x\right)=A\)

特点：不好求极限但是好放缩（如 \(x^2+y^2\geq2xy\)）
当式子放大之后为0，则要想到给式子加绝对值

单调有界收敛准则

单调有界数列必有极限（单调增数列有上界必收敛）

证明数列单调的常用方法：

• \(x_{n+1}-x_n\geq 0\;\left(\leq 0\right)\)

• \(\displaystyle\frac{x_{n+1}}{x_n}\geq 1\;\left(\leq 1\right)\)

• 数学归纳法

• \(x_{n+1}=f\left(x_n\right)\)

  flowchart TB
    函数可导 ---|导函数| 恒大于零 & 恒小于零
    恒小于零 --- 数列不具有单调性 
    恒大于零 ---|前两个元素| 单调增 & 单调减
  

无穷小

无穷小的运算性质

1. 有限个无穷小的乘积仍为无穷小
2. 有限个无穷小的和仍为无穷小
3. 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小

等价无穷小

\(\begin{array}{l}\sin{x} \sim x &\tan{x} \sim x \\[0.5em] \arcsin{x} \sim x &\arctan{x} \sim x \\[0.5em] \ln{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)} \sim x &\ln{\left(1+x\right)} \sim x &e^x-1 \sim x \\[0.5em] \\ \left(1+x\right)^\alpha \sim \alpha x+1 &\log_a{(1+x)} \sim \frac{x}{\ln{a}} \\[0.5em] \\ x-\ln{\left(1+x\right)} \sim \frac{1}{2}x^2 &1-\cos{x} \sim \frac{1}{2}x^2 \\[0.5em] \\ \tan{x}-\sin{x} \sim \frac{1}{2}x^3 \\[0.5em] \tan{x}-x \sim \frac{1}{3}x^3 & x-\arctan{x} \sim \frac{1}{3}x^3 \\[0.5em] x-\sin{x} \sim \frac{1}{6}x^3 &\arcsin{x}-x \sim \frac{1}{6}x^3\end{array}\)

极限的运算

无穷小的运算性质

1. 有限个无穷小之和/积仍为无穷小
2. 有界函数与无穷小的积仍为无穷小

多项式比值的极限求法

\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots+a_{m-1}x+a_m}{b_0x^n+b_1x^{n-1}+\cdots+b_{n-1}x+b_n}}\left(a_0,b_0\neq0\right)=\lim_{x\to\infty}{\frac{a_0x^m}{b_0x^n}}\)\(=\left\{\begin{array}{ll}\frac{a_0}{b_0}&m=n\\\infty&m>n\\0&m<n\end{array}\right.\)

未定式极限的求法

• \(\frac{\infty}{\infty}\)、\(\frac{0}{0}\) 型 利用 \(L'H\hat{o}pital\) 法则

• \(0\cdot\infty\) 型

• \(\infty-\infty\) 型

• \({f\left(x\right)}^{g\left(x\right)}\) 型（\(1^\infty\)、\(0^0\)、\(\infty^0\)）

  利用对数恒等式 \({f\left(x\right)}^{g\left(x\right)}=e^{g\left(x\right)\ln{f\left(x\right)} }\) 转换表达式

连续

函数的连续性 (Continuity):

\(f\left(x\right)\) 在 \(x_0\) 处连续 \(\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=0\) \(\displaystyle\Leftrightarrow\lim_{\Delta x\to 0}f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=0\) \(\displaystyle\Leftrightarrow\lim_{x\to{x_0}}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)\)

间断点

• 第 \(\mathrm{I}\) 类间断点：\(\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f\left(x\right)\) 与 \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f\left(x\right)\) 均存在
  • \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f\left(x\right)=\lim_{x\to x_0^-}f\left(x\right)\neq f\left(x_0\right)\)（或 \(f\left(x_0\right)\) 不存在），则 \(x=x_0\) 为可去间断点
  • \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f\left(x\right)\neq\lim_{x\to x_0^-}f\left(x\right)\)，则 \(x=x_0\) 为跳跃间断点
• 第 \(\mathrm{II}\) 类间断点：\(\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f\left(x\right)\) 与 \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f\left(x\right)\) 至少有其中之一不存在

闭区间上连续函数的性质

有界性与最值定理

设函数 \(f\left(x\right)\) 在闭区间 \(\left[a,\,b\right]\) 上连续，则 \(f\left(x\right)\) 在该区间上有界，且必可取到最大值与最 小值。

零点存在性定理

设函数 \(f\left(x\right)\) 在闭区间 \(\left[a,\,b\right]\) 上连续，且 \(f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)\lt 0\)，则 \(\exists\xi\in\left[a,\,b\right]\) 使得 \(f\left(\xi\right)=0\)

介值定理

设函数 \(f\left(x\right)\) 在闭区间 \(\left[a,\,b\right]\) 上连续，\(f\left(x\right)_{\mathrm{min}}\leq\mu\leq f\left(x\right)_{\mathrm{max}}\)，则 \(\exists\xi\in\left[a,\,b\right]\) 使得 \(f\left(\xi\right)=\mu\)

两个重要极限

\[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\qquad\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e\]

导数

\[\displaystyle f^\prime\left(x_0\right)=\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}}\]

Derivative

高阶导数

\(Leibniz\) 公式 \[\left(uv\right)^{\left(n\right)}=\sum_{k=0}^{n}{C_n^ku^{\left(n-k\right)}v^{\left(k\right)}}\]

参数方程求导

\[\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\qquad\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}=\frac{\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\]

\(Fermat\) 引理

可导函数的每一个可导的极值点都是驻点

设函数 \(f\left(x\right)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域 \(U\left(x_0\right)\) 内有定义，并且在 \(x_0\) 处可导，如果对\(\forall{x\in{U\left(x_0\right)} }\)，有\(f\left(x\right)\leq f\left(x_0\right)\)（或\(f\left(x\right)\geq f\left(x_0\right)\)），那么\(f^\prime\left(x_0\right)=0\)

导数的应用

微分

Differential

一元函数微分学

微分中值定理

\(Rolle\) 中值定理

• 条件

  • 函数 \(f\left(x\right)\) 在 \(\left[a,\ b\right]\) 上连续
  • 函数 \(f\left(x\right)\) 在 \(\left(a,\ b\right)\) 上可导
  • \(f\left(a\right)=f\left(b\right)\)

• 结论

  \(\exists\xi\in\left(a,\,b\right)\)，使得 \(f^\prime\left(\xi\right)=0\)

💡 题型一：多次使用 \(Rolle\) 中值定理以证明高阶导数为零

原理：证明 \(n\) 阶导为零需要 \(n+1\) 个函数值相等的点，使用 \(n\) 次 \(Rolle\) 中值定理。

💡 题型二：找到辅助函数 \(F\left(x\right)\) 以证明

原理：还原题目所要证明的函数是找到辅助函数的关键。

常用的还原公式

形式	还原后
\(u^\prime\left(x\right)\pm v^\prime\left(x\right)\)	\(u\left(x\right)\pm v\left(x\right)\)
\(u^\prime\left(x\right) v\left(x\right)\pm u\left(x\right)v^\prime\left(x\right)\)	\(u\left(x\right)v\left(x\right)\)
\(\displaystyle\frac{u^\prime\left(x\right) v\left(x\right)- u\left(x\right)v^\prime\left(x\right)}{v^2\left(x\right)}\)	\(\displaystyle\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}\)
\(\displaystyle\frac{u^\prime\left(x\right)}{u\left(x\right)}\)	\(\ln u\left(x\right)\)

通常题干中要求证明的式子会约去一个因子，利用还原公式和适当地添加公因子就能得到最终的辅助函数。

\(Lagrange\) 中值定理

• 条件

  • 函数 \(f\left(x\right)\) 在 \(\left[a,\ b\right]\) 上连续
  • 函数 \(f\left(x\right)\) 在 \(\left(a,\ b\right)\) 上可导

• 结论

  \(\exists\xi\in\left(a,\,b\right)\)，使得 \(\displaystyle f^\prime\left(\xi\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\) （或 \(f\left(b\right)-f\left(a\right)=\left(b-a\right)f^\prime\left(a+\theta\left(b-a\right)\right)\;\left(0\lt\theta\lt 1\right)\)）

• 推论

  \[f\left(x\right)\equiv C\Rightarrow f^\prime\left(x\right)\equiv 0\]

• 证明

  利用 \(Rolle\) 中值定理证明。首先应当找到辅助函数，易得 \(F\left(x\right)=\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)x-\left(b-a\right)f\left(x\right)\)，并有： \[\left\{\begin{array}{l}F\left(a\right)=af\left(b\right)-bf\left(a\right)\\F\left(b\right)=af\left(b\right)-bf\left(a\right)\end{array}\right.\Rightarrow F\left(a\right)=F\left(b\right)\] 又 \(\because F\left(x\right)\in C\left[a,\,b\right]\) 且 \(F\left(x\right)\) 在 \(\left(a,\,b\right)\) 上可导，\(\therefore\exists\xi\in\left(a,\ b\right)\) 使得 \(F^\prime\left(\xi\right)=0\) 即 \(f\left(b\right)-f\left(a\right)-\left(b-a\right)f^\prime\left(\xi\right)=0\)，移项后得 \(\displaystyle f^\prime\left(\xi\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\)，得证。

• 作用

  • 升高导数的阶数
  • 化简求极限的过程
    • 例：\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}n^2\left(\arctan\frac\pi n-\arctan\frac\pi{n+1}\right)\) = \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\pi n^2}{n\left(n+1\right)}\cdot\frac{1}{1+\xi^2}=\pi\lim_{\xi\to 0}\frac{1}{1+\xi^2}=\pi\)
  • 证明不等式
    • 例：证明 \(\displaystyle\forall n\in \mathrm{N^+},\,\frac{1} {n+1}\lt\ln{\left(1+\frac{1}{n}\right)}\lt\frac{1}{n}\)
      \(\displaystyle\ln{1+\frac{1}{n}}=\ln{\frac{n+1}{n}}=\ln{\left(n+1\right)}-\ln{n}\)。令 \(f\left(x\right)=\ln{x}\)，在 \(\left[n,\,n+1\right]\) 上连续，在 \(\left(n,\,n+1\right)\) 上可导。故 \(\displaystyle\ln{\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\left(n+1-n\right)\cdot\frac{1}{\xi}=\frac{1}{\xi},\;\xi\in\left(n,\,n+1\right)\)，从而 \(\displaystyle\frac{1} {n+1}\lt\frac{1}{\xi}\lt\frac{1}{n}\)

\(Cauchy\) 中值定理

• 条件

  • 函数 \(f\left(x\right),\,g\left(x\right)\) 在 \(\left[a,\ b\right]\) 上连续
  • 函数 \(f\left(x\right),\,g\left(x\right)\) 在 \(\left[a,\ b\right]\) 在 \(\left(a,\ b\right)\) 上可导
  • \(g^\prime\left(x\right)\neq 0\)

• 结论

  \(\exists\xi\in\left(a,\,b\right)\)，使得 \(\displaystyle\frac{f^\prime\left(\xi\right)}{g^\prime\left(\xi\right)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}\)

• 作用

  • 证明多中值问题
    1. 分离中值
    2. 分别使用 \(Lagrange\) 和 \(Cauchy\) 中值定理
    例：函数 \(f\left(x\right)\) 在 \(\left[a,\,b\right]\) 上连续、在 \(\left(a,\,b\right)\) 上可导，且 \(f\left(x\right)\neq 0\)，证明 \(\exists\xi,\,\eta\in\left(a,\,b\right)\) 使得 \(\displaystyle\frac{f^\prime\left(\xi\right)}{f^\prime\left(\eta\right)}=\frac{e^b-e^a}{b-a}e^{\eta}\)
    解：[分离中值] \(\displaystyle\begin{array}{c}\underbrace{f^\prime\left(\xi\right)}\\{Lagrange}\end{array}=\frac{e^b-e^a}{b-a}\cdot\begin{array}{c}\underbrace{\frac{f^\prime\left(\eta\right)}{e^\eta}}\\{Cauchy}\end{array}\)
    [使用中值定理] 令 \(g\left(x\right)=e^x\)，使用 \(Cauchy\) 中值定理：\(\displaystyle\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}=\frac{f^\prime\left(\eta\right)}{e^\eta}\)；使用 \(Lagrange\) 中值定理：\(\displaystyle f^\prime\left(\xi\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\)。等式右边 \(=\displaystyle\frac{e^b-e^a}{b-a}\cdot\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{e^b-e^a}=\) 等式左边，得证。

\(Taylor\) 公式

设函数 \(f\left(x\right)\) 在 \(\mathring{U}\left(x_0\right)\) 内具有 \(n+1\) 阶导数，则：

\[\begin{array}{c}\displaystyle f\left(x\right)=\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{\left(i\right)}\left(x_0\right)}{i!}\left(x-x_0\right)^i+R_n\left(x\right)\\=f\left(x_0\right)+f^\prime\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime\prime}\left(x_0\right)}{2!}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n+R_n\left(x\right)\end{array}\]

其中 \(R_n\left(x\right)\) 称为余项。\(R_n\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}\left(x-x_0\right)^{n+1}&Lagrange \ 余项\\[0.8em] o\left(\left(x-x_0\right)^n\right)&Peano\ 余项\end{array}\right.\)

若 \(x_0=0\)，则称该公式为 \(Maclaurin\) 公式。

常用的 \(Maclaurin\) 展开式： - \(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)\)

多元函数微分学

多元隐函数求偏导

\[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}\]

方向导数与梯度

\[\nabla=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\right)\]

应用

利用判别式法求解无条件极值

设函数 \(z=f(x,\,y)\) 在点 \((x_0,\,y_0)\) 处具有偏导数且有极值，则 \(\left\{\begin{array}{l}f_x(x_0,\,y_0)=0\\ f_y(x_0,\,y_0)=0\end{array}\right.\)

令 \(f_{xx}^{\prime\prime}(x_0,\,y_0)=A,\,f_{xy}^{\prime\prime}(x_0,\,y_0)=B,\,f_{yy}^{\prime\prime}(x_0,\,y_0)=C\)

• \(AC-B^2\gt 0\) 时具有极值，且 \(A\lt 0\) 时取得极大值；\(A\gt 0\) 时取得极小值
• \(AC-B^2\lt 0\) 时没有极值
• \(AC-B^2=0\) 无法判断

利用 \(Lagrange\) 乘数法求解条件极值

积分

定积分

设函数 \(f\left(x\right)\) 在 \(\left[a,b\right]\) 上有界。

1. 取 \(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\)

   • \(\left[a,b\right]=\left[x_0,x_1\right]\cup\left[x_1,x_2\right]\cup\cdots\cup\left[x_{n-1},x_n\right]\)
   • \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\ \left(i\in\left[1,n\right]\right)\)

2. 任取 \(\xi_i\in\left[x_{i-1},x_i\right]\)，求和 \(\sum_{i=1}^{n}{f\left(\xi_i\right)\Delta x_i}\)

3. 取 \(\displaystyle\lambda=\max_{1\le i\le n}{\left\{\Delta x_i\right\}}\)

4. 若 \(\displaystyle\lim_{\lambda\rightarrow0}{\sum_{i=1}^{n}{f\left(\xi_i\right)\Delta x_i}}\) 存在，则其为 \(f\left(x\right)\) 在 \(\left[a,b\right]\) 上的定积分（Integral），即： \[\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\lim_{\lambda\rightarrow0}{\sum_{i=1}^{n}{f\left(\xi_i\right)\Delta x_i}}\]

定积分的诸性质：

• 若 \(f\left(x\right)\geq0\)（\(a\le x\le b\)），则 \(\displaystyle\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\geq0\)
• 若 \(f\left(x\right)\geq g\left(x\right)\)（\(a\le x\le b\)），则 \(\displaystyle\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\geq\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx\)
• 若 \(f\left(x\right)\)、\(\left|f\left(x\right)\right|\) 在 \(\left[a,\ \ b\right]\) 上可积，则 \(\displaystyle\left|\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right|\le\int_{a}^{b}\left|f\left(x\right)\right|dx\)

积分中值定理

设 \(f\left(x\right)\in{C\left[a,\,b\right]}\)，则 \(\exists\xi\in\left[a,\,b\right]\)，使得 \(\displaystyle\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=f\left(\xi\right)\left(b-a\right)\)

• 证明

  \(\because f\left(x\right)\in{C\left[a,\,b\right]},\,\therefore\exists{M=f(x)_{\max},\,m=f(x)_{\min}}\)，使得 \(m\leq f(x)\leq M\)。
  对等式两边取在 \(\left[a,\,b\right]\) 上的定积分：\(\displaystyle\int_{a}^{b}m\leq\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\leq\int_{a}^{b}M\Rightarrow\)
  \(\displaystyle m\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\leq M\)。
  （介值定理）\(\therefore\exists\xi\in\left[a,\,b\right]\)，使得 \(\displaystyle\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=f\left(\xi\right)\)

• 用途：在被积函数 连续 的情况下，去掉积分号

积分上限函数

设 \(f\left(x\right)\in C\left[a,b\right]\)，\(\Phi\left(x\right)=\int_{a}^{x}f\left(t\right)dt\)，则 \(\frac{d}{dx}\Phi\left(x\right)=f\left(x\right)\)，即 \(\Phi^\prime\left(x\right)=f\left(x\right)\)。

积分上限函数的诸性质

• \(\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}{f(t)dt}=f\left(x\right)\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a}^{\varphi\left(x\right)}f\left(t\right)dt=f\left(\varphi\left(x\right)\right)\cdot\varphi^\prime\left(x\right)\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{\varphi_1\left(x\right)}^{\varphi_2\left(x\right)}{f(t)dt}=f\left(\varphi_2\left(x\right)\right)\varphi_2^\prime\left(x\right)-f\left(\varphi_1\left(x\right)\right)\varphi_1^\prime\left(x\right)\)

函数的定积分性质

周期函数

三角函数

\[\int_0^{\frac\pi2}f\left(\sin x,\,\cos x\right)=\int_0^{\frac\pi2}f\left(\cos x,\,\sin x\right)\]

\(Wallis\) 公式

\[\int_0^{\frac\pi2}\sin^nx=\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx=\begin{cases}\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac23\cdot1&n\,为奇数\\\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac12\cdot\frac\pi2&n\,为偶数\end{cases}\]

定积分的应用

利用微元法求解面积、体积的步骤：

1. 确定积分变量及其取值区间
2. 任取区间 \(\left[x,\,x+dx\right]\)，求出该区间对应的微元表达式
3. 求积分

多元函数积分学

二重积分

\[\iint\limits_{D}{f\left(x,\,y\right)d\sigma}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}f\left(\xi_i,\,\eta_i\right)\Delta\sigma_i}\] 其中 \(f\left(x,\,y\right)\) 是被积函数；\(f\left(x,\,y\right)d\sigma\) 是被积表达式；\(d\sigma\) 是面积元素；\(x,\,y\) 是积分变量；\(D\) 是积分区域；\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f\left(\xi_i,\,\eta_i\right)\Delta\sigma_i\) 是积分和。

在直角坐标系下的面积元素 \(d\sigma\) 可写为 \(dxdy\)

三重积分

\[\iiint\limits_{D}{f\left(x,\,y,\,z\right)dv}\]

计算方法

1. 直角坐标

   1. 切片法（先一后二）
   2. 投影法（先二后一）

2. 柱坐标

3. 球坐标

   \[\left\{\begin{align*}x&=r\sin\varphi\cos\theta,&0\leq r\lt+\infty\\y&=r\sin\varphi\sin\theta,&0\leq\varphi\leq 2\pi\\z&=r\cos\varphi,&0\leq\theta\leq 2\pi\end{align*}\right.\]

   \[dv=r^2 \sin\varphi drd\varphi d\theta\]

应用

1. 空间几何体的重心（质心）及形心 设空间几何体 \(\Omega\) 体密度为 \(\rho(x,\,y,\,z)\)，则其重心（质心）坐标公式为 \[\bar{x}=\dfrac{\iiint\limits_{\Omega}x\rho(x,\,y,\,z)dv}{\iiint\limits_{\Omega}\rho(x,\,y,\,z)dv},\;\bar{y}=\dfrac{\iiint\limits_{\Omega}y\rho(x,\,y,\,z)dv}{\iiint\limits_{\Omega}\rho(x,\,y,\,z)dv},\;\bar{z}=\dfrac{\iiint\limits_{\Omega}z\rho(x,\,y,\,z)dv}{\iiint\limits_{\Omega}\rho(x,\,y,\,z)dv}\] 当 \(\rho(x,\,y,\,z)\equiv 1\) 时，得到 \(\Omega\) 的形心坐标公式为 \[\bar{x}=\dfrac{\iiint\limits_{\Omega}xdv}{\iiint\limits_{\Omega}dv},\;\bar{y}=\dfrac{\iiint\limits_{\Omega}ydv}{\iiint\limits_{\Omega}dv},\;\bar{z}=\dfrac{\iiint\limits_{\Omega}zdv}{\iiint\limits_{\Omega}dv}\]

2. 空间几何体 \(\Omega\) 的转动惯量 设空间几何体 \(\Omega\) 体密度为 \(\rho(x,\,y,\,z)\)，则其对于 \(x\) 轴、\(y\) 轴、\(z\) 轴及原点 \(O\) 的转动惯量分别为 \[I_x=\iiint\limits_{\Omega}\left(y^2+z^2\right)\rho(x,\,y,\,z)dv\]

   \[I_y=\iiint\limits_{\Omega}\left(x^2+z^2\right)\rho(x,\,y,\,z)dv\] \[I_z=\iiint\limits_{\Omega}\left(x^2+y^2\right)\rho(x,\,y,\,z)dv\] \[I_O=\iiint\limits_{\Omega}\left(x^2+y^2+z^2\right)\rho(x,\,y,\,z)dv\]

曲线积分

对弧长的曲线积分（第一类）

1. 化简

   • 利用对称性化简
   • 将曲线 \(L\) 的方程代入被积函数化简
   • 利用形心公式化简

2. 计算

   • \(L:\, y=y(x),\; x\in\left[a,\,b\right]\) \[\int_L{\rho(x,\,y)ds}=\int_a^b \rho(x,\,y(x))\sqrt{1+y^\prime(x)^2}dx\]
   • \(L:\,\left\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}\right. t\in\left[\alpha,\,\beta\right]\) \[\int_L{\rho(x,\,y)ds}=\int_\alpha^\beta \rho(x(t),\,y(t))\sqrt{x^\prime(t)^2+y^\prime(t)^2}dt\]

对坐标的曲线积分（第二类）

计算方法：

1. \(\displaystyle\int_{L:\;y=y(x)}P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy\) 其中 \(x:\; a\to b\) 则原式 \(=\)

   \[\int_a^b{P(x,\,y(x))dx+Q(x,\,y(x))y^\prime(x)dx}\]

2. \(\displaystyle L:\,\left\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}\right.\int_{L}P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy\) 其中 \(t:\;\alpha\to\beta\) 则原式 \(=\)

   \[\int_\alpha^\beta{\left[P\left(x\left(t\right),\,y\left(t\right)\right)x^\prime(t)+Q\left(x\left(t\right),\,y\left(t\right)\right)y^\prime(t)\right]dx}\]

平面第二型曲线积分与路径无关的理论：

若 \(\dfrac{\partial Q}{\partial x}\equiv\dfrac{\partial P}{\partial y}\)，则有：

1. \(\displaystyle\int_{L}P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy\)\(=\)\(\displaystyle\int_{\left(x_1,\,y_1\right)}^{\left(x_2,\,y_2\right)}P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy\)\(=\)\(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}P(x,\,y)dx+\int_{y_1}^{y_2}Q(x,\,y)dy\)

\(Green\) 公式

\[\oint_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)d\sigma\] 其中 \(D\) 为封闭曲线 \(L\) 围成的区域（如果出现不可导点则用绕线法）

\(Stokes\) 公式

\[\oint_L Pdx+Qdy+Rdz=\iint\limits_\Sigma\begin{vmatrix}\cos\alpha&\cos\beta&\cos\theta\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}dS\]

曲面积分

flowchart TB;
 l(曲线积分)---gr(Green 公式) & st(Stokes 公式)
 p(曲面积分)---ga(Gauss 公式)
 st --> |特例|ga
 st --> |投影|gr

对面积的曲面积分（第一类）

计算方法：

投影法（将曲面 \(\Sigma\) 向 \(xOy\) 投影得到平面区域 \(D_{xy}\)）

\[\iint\limits_{\Sigma:\;z=z(x,y)}{\rho(x,\,y,\,z)dS}=\iint\limits_{D_{xy}}{\rho(x,\,y,\,z(x,\,y))\sqrt{1+{z_x^\prime}^2+{z_y^\prime}^2}dS}\]

对坐标的曲面积分（第二类）

计算方法：

1. 转换成第一类曲面积分

   \[\displaystyle\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS\] 其中 \(\cos\alpha,\,\cos\beta,\,\cos\gamma\) 是曲面 \(\Sigma\) 的方向余弦

2. 转换成二重积分计算

   设曲面 \(\Sigma:\;z=z(x,\,y)\)，\(\Sigma\) 在 \(xOy\) 平面上的投影区域为 \(D_{xy}\)，\(\Sigma\) 的法向量与 \(z\) 正半轴夹角为 \(\varphi\)，则有：

   \[\iint_\Sigma P(x,\,y,\,z)dydz=\pm\iint_{D_{xy}}{P(x,\,y,\,z(x,y))\left(-\dfrac{\partial{z}}{\partial{x}}\right)dxdy}\]

3. 转换成三重积分计算（\(Gauss\) 公式）

\(Gauss\) 公式

\[\oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv\]

无穷级数

Infinite Series

数项级数

常见级数的敛散性

名称	表达式	敛散性
\(p-\)级数	\(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\dfrac{1}{n^p}\)	\(\begin{array}{ll}p\gt1&收敛\\p\leq1&发散\end{array}\)

比较审敛法

设级数 \(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty u_n\) 和 \(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty v_n\) 都是正项级数，且 \(u_n\leq v_n\;\left(n=1,\,2,\,\cdots\right)\)

1. 若 \(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty v_n\) 收敛，则 \(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty u_n\) 收敛
2. 若 \(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty u_n\) 发散，则 \(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty v_n\) 发散

📓 常用放缩，放大求证收敛；缩小求证发散。

比值审敛法

设级数 \(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty u_n\) 是正项级数，若其后项与前项之比值的极限等于 \(\rho\)，即 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\)，则 1. 若 \(p\lt1\)，级数收敛； 2. 若 \(p\gt1\)，级数发散； 3. 若 \(p=1\)，敛散性未知。

根值审敛法

设级数 \(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty u_n\) 是正项级数，若 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\)，则 1. 若 \(p\lt1\)，级数收敛； 2. 若 \(p\gt1\)，级数发散； 3. 若 \(p=1\)，敛散性未知。

交错级数及其审敛法

莱布尼茨定理

如果交错级数满足条件：

1. 数列 \(\left\{u_n\right\}\) 单调减少，即 \(u_n\geq u_{n+1}\;\left(n=1,\,2,\,\cdots\right)\)
2. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=0\)

则级数收敛，且其和 \(s\leq u_1\)，其余项 \(r_n\) 的绝对值 \(\left|r_n\right|\leq u_{n+1}\)

幂级数

一般形式：\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n \left(x-x_0\right)^n\)

标准形式：\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\)

\(Abel\) 定理

• 若当 \(x_0\ne 0\) 时，\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x_0^n\) 若收敛，则 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 在 \(\left(-\left|x_0\right|,\,\left|x_0\right|\right)\) 绝对收敛；
• 若当 \(x_1\ne 0\) 时，\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x_1^n\) 若发散，则 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 在 \(\left(-\infty,\,-\left|x_0\right|\right)\cup\left(\left|x_0\right|,\,+\infty\right)\) 发散；

⚠ 必存在 \(R\ge 0\)，使得 \(x\in\left(-R,\,R\right)\) 时，\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 绝对收敛；\(\left(-\infty,\,-R\right)\cup\left(R,\,+\infty\right)\) 时，\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 发散； \(x=\pm R\) 时，需要将端点值代入到 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) 中以判别其敛散性。

求幂级数收敛半径的方法

方法一（缺有限项时可用）： \[\left.\begin{array}{r}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho\\[12pt]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\rho\end{array}\right\}\Rightarrow\begin{cases}0\lt\rho\lt+\infty&R=\dfrac{1}{\rho}\\\rho=0&R=+\infty\\\rho=+\infty&R=0\end{cases}\]

方法二（对于任意形式的幂级数皆可用）： \[\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{u_{n+1}(x)}{u_{n}(x)}\right|=\rho(x)\overset{\text{令}}{\lt}1\] 解得 \(x\in(a,\,b)\)，收敛半径即 \(R=\dfrac{b-a}{2}\)

幂级数展开

无论是将函数展开成幂级数还是将幂级数求和，都可以有如下方法：

1. 套用公式（见下表）或经过变形后再套用公式；

2. 先导后积或先积后导

   • \(f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f^\prime (t)dt+f(0)\)

常用的幂级数展开公式

展开式	收敛半径
\(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}\)	\(-\infty\lt x\lt +\infty\)
\(\displaystyle\dfrac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty \left(-1\right)^n x^n\)	\(-1\lt x\lt 1\)
\(\displaystyle\dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n\)	\(-1\lt x\lt 1\)
\(\displaystyle\sin{x}=\sum_{n=0}^\infty\left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)	\(-\infty\lt x\lt +\infty\)
\(\displaystyle\cos{x}=\sum_{n=0}^\infty\left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\)	\(-\infty\lt x\lt +\infty\)
\(\displaystyle\ln\left(1+x\right)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\left(-1\right)^{n-1}}{n}x^n\)	\(-1\lt x\le 1\)

\(Fourier\) 级数

\[f\left(x\right)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty\left(a_k\cos\dfrac{k\pi x}{l}+b_k\sin \dfrac{k\pi x}{l}\right)\] \[\begin{align*}a_0&=\dfrac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx\\a_k&=\dfrac{1}{l}\int_{-l}^{l}f\left(x\right)\cos\dfrac{k\pi x}{l}dx\quad\left(k=0,\,1,\,2,\,\cdots\right)\\b_k&=\dfrac{1}{l}\int_{-l}^{l}f\left(x\right)\sin\dfrac{k\pi x}{l}dx\quad\left(k=1,\,2,\,3,\,\cdots\right)\end{align*}\]

记 \(Fourier\) 级数为 \(S(x)\)，则

1. 若 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的连续点，则 \(S(x_0)=f(x_0)\)；
2. 若 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的间断点，则 \(S(x_0)=\dfrac{f_-(x_0)+f_+(x_0)}{2}\)

奇偶函数的 \(Fourier\) 级数：

• 正弦级数：设 \(f(x)\) 是周期为 \(2l\) 的奇函数，且满足 \(Dirichlet\) 收敛定理，则其 \(Fourier\) 级数为 \(S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\cdot\sin{\dfrac{n\pi x}{l}}\)
• 余弦级数：设 \(f(x)\) 是周期为 \(2l\) 的偶函数，且满足 \(Dirichlet\) 收敛定理，则其 \(Fourier\) 级数为 \(S(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot\cos{\dfrac{n\pi x}{l}}\)

向量代数与空间解析几何

向量及其线性运算

方向角与方向余弦

记向量 \(\vec{v}=\left(x,\,y,\,z\right)\)，并记与 \(x,\,y,\,z\) 正半轴所形成的角分别为 \(\alpha,\,\beta,\,\gamma\)，则有： \[ \begin{array}{c} \cos\alpha=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\[1.5em] \cos\beta=\displaystyle\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\[1.5em] \cos\gamma=\displaystyle\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \end{array} \]

⚠ 注意： - 若 \(\vec{v}\) 在第一卦限，则 \(\alpha,\,\beta,\,\gamma\) 皆为锐角。 - 向量 \(\left(\cos\alpha,\,\cos\beta,\,\cos\gamma\right)\) 是与向量 \(\vec{v}\) 同向的单位向量。 - 如果求得单位向量更方便，则可以利用单位向量与方向余弦向量的关系直接求解方向余弦。

向量在轴上的投影

过 \(M\) 点作与 \(u\) 轴相垂直的平面 \(\pi\)，\(\pi\) 与 \(u\) 轴交点记为 \(M^\prime\)（点 \(M\) 在 \(u\) 轴上的投影）；\(\overrightarrow{OM^\prime}\) 是 \(\overrightarrow{OM}\) 在 \(u\) 轴上的分向量。由于 \(\overrightarrow{OM^\prime}\) 同 \(u\) 轴的单位向量 \(\hat{e}\) 平行，故 \(\overrightarrow{OM^\prime}=\lambda\hat{e}\)，\(\lambda\) 就是 \(\overrightarrow{OM}\) 在 \(u\) 轴上的投影（是一个数而不是向量），记作： \[ \mathrm{prj}_{u}\overrightarrow{OM}\;或\;\left(\overrightarrow{OM}\right)_u \]

性质： 1. \(\mathrm{prj}_{u}\overrightarrow{OM}=\left|\overrightarrow{OM}\right|\cos\varphi\quad\left(\varphi\in\left[0,\,\pi\right]\right)\) 2. \(\mathrm{prj}_{u}\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=\mathrm{prj}_{u}\vec{a}+\mathrm{prj}_{u}\vec{b}\) 3. \(\mathrm{prj}_{u}\lambda\vec{a}=\lambda\cdot\mathrm{prj}_{u}\vec{a}\)

向量的积

	数量积	向量积
定义	\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}\cos\theta\)	\(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}\sin\theta\)
交换律	\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)	\(a\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}\)
分配律	\(\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)	\(\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}\)
自乘	\(\vec{a}\cdot\vec{a}=\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}^2\)	\(\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}\)
零积	\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\Leftrightarrow\vec{a}\bot\vec{b}\)	\(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\Leftrightarrow\vec{a}\parallel\vec{b}\)
代数描述	\(\vec{a}^T\cdot\vec{b}\)	\(\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{vmatrix}\)

混合积

先叉乘后点乘：\(\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\) ，记作 \(\begin{bmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{bmatrix}\)（最后的结果是一个数，不是向量）。

计算： \[\begin{bmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{bmatrix}=\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}\] 几何意义：混合积的绝对值是以 \(\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}\) 为邻边的平行六面体体积。

\(\vec{a}\times\vec{b}\) 与 \(\vec{c}\) 之间的夹角 \(\theta\) 与混合积之间的关系： - \(\displaystyle 0\leq\theta\lt\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow\begin{bmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{bmatrix}\gt 0\Leftrightarrow\vec{a}\times\vec{b},\,\vec{c}\) 在 \(\vec{a},\,\vec{b}\) 所确定平面的同侧； - \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\lt\theta\leq\pi\Leftrightarrow\begin{bmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{bmatrix}\lt 0\Leftrightarrow\vec{a}\times\vec{b},\,\vec{c}\) 在 \(\vec{a},\,\vec{b}\) 所确定平面的异侧； - \(\displaystyle\theta=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow\begin{bmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{bmatrix}=0\Leftrightarrow\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}\) 共面。

交换律： \[\begin{bmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\vec{b}&\vec{c}&\vec{a}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\vec{c}&\vec{a}&\vec{b}\end{bmatrix}\]

flowchart LR;
  a --> b --> c --> a

平面及其方程

平面的点法向式方程

\[A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0\] 其中，该平面的法向量为 \(\begin{pmatrix}A&B&C\end{pmatrix}\)，点 \(P\left(x_0,\,y_0,\,z_0\right)\) 是该平面上的一点。

求法： 1. 找到垂直于平面的一个向量 \(\vec\tau\)； 2. 在平面中找一个定点 \(P\left(x_0,\,y_0,\,z_0\right)\)，与动点 \(X\left(x,\,y,\,z\right)\) 构成向量 \(\overrightarrow{XP}\)； 3. \(\overrightarrow{XP}\cdot\vec\tau=0\)

平面的一般式方程

\[Ax+By+Cz+D=0\]

特点： - \(D=0\) 则平面过坐标原点； - \(A=0\) 则平面平行于 \(x\) 轴 - \(A=B=0\) 则平面平行于 \(xOy\) 平面

平面的截距式方程

\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\]

曲面及其方程

旋转曲面

平面曲线（母线）绕该平面内的某直线（轴）旋转一周所得的曲面即旋转曲面。

设 \(yOz\) 平面内有一方程为 \(f\left(y,\,z\right)=0\) 的曲线，绕着 \(z\) 轴旋转，要求其旋转所得的曲线：

1. 设母线上任一点为 \(M_1\left(0,\,y_1,\,z_1\right)\)，过该点作垂直于 \(z\) 轴的平面，得到该平面与旋转曲面的截痕，并设截痕上另一点为 \(M\left(x,\,y,\,z\right)\)
2. 因为 \(M_1\) 在母线上，所以 \(f\left(y_1,\,z_1\right)=0\)
3. 曲线围绕 \(z\) 轴旋转一周，\(M_1\) 到 \(z\) 轴的距离并不发生变化，故 \(M\)、\(M_1\) 两点相对 \(z\) 轴的距离相等：\(\sqrt{y_1^2+(z_1-z)^2}\)（\(M_1\) 到 \(z\) 轴的距离）\(=\sqrt{x^2+y^2+(z-z)^2}\)（\(M\) 到 \(z\) 轴的距离）
4. 联立方程 \(\left\{\begin{array}{l}z=z_1\\\sqrt{y_1^2+(z_1-z)^2}=\sqrt{x^2+y^2+(z-z)^2}\\f\left(y_1,\,z_1\right)=0\end{array}\right.\)
5. 得旋转曲面方程 \(f\left(\pm\sqrt{x^2+y^2},\,z\right)=0\)

📓 注意到 \(f\left(y,\,z\right)=0\) 顺时针旋转 \(90^\circ\) 得到的 \(f\left(x,\,z\right)=0\) 绕 \(z\) 轴所得的旋转曲面方程不变，故绕哪个轴，哪个轴不动

各类旋转曲面

• 球面

  方程：\(\displaystyle\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}+\frac{z^2}{r^2}=1\) 其中 \(r\) 为球的半径

• 椭球面

  方程：\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) 其中当 \(a,\,b,\,c\) 其中两个相等时，为旋转椭球面

• 圆锥面

  方程：\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=z^2\)

常微分方程

一阶微分方程

变量可分离的一阶方程

形式：\(\dfrac{dy}{dx}=\varphi(x,\,y)=g(x)\cdot h(y)\)

解法：\(\displaystyle\dfrac{1}{h(y)}dy=g(x)dx\Rightarrow\int\dfrac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx\)

【例】求方程 \(x(1+y^2)dx+(1+x^2)ydy=0\) 的通解
【解】关于 \(x,\,y\) 的式子分别移到等式两边： \(\dfrac{x}{1+x^2}dx=-\dfrac{y}{1+y^2}dy\)；对等式两边积分：\(\displaystyle\int\dfrac{x}{1+x^2}dx=-\int\dfrac{y}{1+y^2}dy\) 得 \(\dfrac12\ln(1+x^2)=-\dfrac12\ln(1+y^2)+\dfrac12\ln C\)；化简可得 \(1+y^2=\dfrac{C}{1+x^2}\)。

齐次方程

形式：\(\dfrac{dy}{dx}=g\left(\dfrac{y}{x}\right)\)

解法：令 \(u=\dfrac{y}{x}\) 则 \(y=x\cdot u\)，两边对 \(x\) 求导：\(\dfrac{dy}{dx}=u+x\cdot\dfrac{du}{dx}\)。代入方程得 \(u+x\cdot\dfrac{du}{dx}=g(u)\)，分离变量可得 \(\dfrac{u-g(u)}{du}=\dfrac{x}{dx}\)。同时取倒数并积分：\(\displaystyle\int\dfrac1{u-g(u)}du=\int\dfrac{1}{x}dx\)，最后把 \(u=\dfrac{y}{x}\) 代回可得最终微分方程的解。

一阶线性微分方程

1. 齐次方程

   标准形式：\(y^\prime+p(x)y=0\)

   通解：\(y=C\cdot e^{-\int p(x)dx}\)

2. 非齐次方程

   标准形式：\(y^\prime+p(x)y=q(x)\)

   通解：\(y=\displaystyle\left(\int q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}dx+C\right)e^{-\int p(x)dx}\)

全微分方程

若 \(P\left(x,\,y\right)dx+Q\left(x,\,y\right)dy\) 的左端恰好是某个函数 \(u\left(x,\,y\right)\) 的全微分，那么该方程称为全微分方程

判定全微分方程的充要条件： \[\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\]

求解方法：

1. 直接积分法

   \(\dfrac{\partial u}{\partial x}=P,\quad\dfrac{\partial u}{\partial y}=Q\)

2. 利用第二类曲线积分的路径无关性

3. 凑微分法

高阶常系数线性微分方程

二阶线性微分方程的一般形式： ||一般形式| |:--:|:--:| |齐次|\(y^{\prime\prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=0\)| |非齐次|\(y^{\prime\prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=f(x)\)|

解的结构：

1. 齐次的通解：设 \(y_1\) 和 \(y_2\) 是两个线性无关解，则 \[y=c_1y_1+c_2y_2\]
2. 非齐次的通解 \(=\) 齐次的通解 \(+\) 非齐次的特解
3. 设 \(y_1\) 是 \(y^{\prime\prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=f_1(x)\) 的解；\(y_2\) 是 \(y^{\prime\prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=f_2(x)\) 的解，则 \(y_1+y_2\) 是 \[y^{\prime\prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)\] 的解。

求二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤：

1. 写出微分方程 \(y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=0\) 的特征方程 \(\lambda^2+p\lambda+q=0\)

2. 求出特征方程的两个根 \(\lambda_1\), \(\lambda_2\)；

3. 根据特征根的不同情况，按下表写出方程的通解

   特征方程的根	微分方程的通解
   两个不等实根 \(\lambda_1,\,\lambda_2\)	\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)
   两个相等实根 \(\lambda_1=\lambda_2=-\dfrac{p}{2}\)	\(y=\left(C_1+C_2x\right)e^{r_1x}\)
   一对共轭复根 \(\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\)	\(y=e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)\)

📓 自然常数 \(e\) 的指数位上 \(x\) 的系数一直都是方程根的一部分

求二阶常系数非齐次线性微分方程通解的步骤：

1. 先令 \(f(x)=0\) 求出对应的齐次线性微分方程的通解；

2. 用待定系数法求非齐次线性微分方程的特解 \(y^\star (x)\)：

   • 若 \(f(x)\) 为多项式 \(P(n)\)，则 \(y^\star=\begin{cases}R_n(x)&\lambda\ne0\\ x\cdot R_n(x)&\lambda=0\,\text{为单根}\\ x^2\cdot R_n(x)&\lambda=0\,\text{为二重根}\end{cases}\)
   • 若 \(f(x)=P_n(x)\cdot e^{\alpha x}\)，则 \(y^\star=\begin{cases}R_n(x)\cdot e^{\alpha x}&\lambda\ne\alpha\\ x\cdot R_n(x)\cdot e^{\alpha x}&\lambda=\alpha\,\text{为单根}\\ x^2\cdot R_n(x)\cdot e^{\alpha x}&\lambda=\alpha\,\text{为二重根}\end{cases}\)
   • 若 \(f(x)=e^{\alpha x}\left(P_n(x)\cdot\cos\beta x+Q_m(x)\cdot\sin\beta x\right)\)，则 \(y^\star=\begin{cases}e^{\alpha x}\cdot\left(R_k(x)\cdot\cos\beta x+S_k(x)\cdot\sin\beta x\right)&\lambda\ne\alpha\pm\beta i\\ x\cdot e^{\alpha x}\cdot\left(R_k(x)\cdot\cos\beta x+S_k(x)\cdot\sin\beta x\right)&\lambda=\alpha\pm\beta i\end{cases}\) 其中 \(k=\max{\left(m,\,n\right)}\)