SymPy 库使用小记

Life is short，you need Python.

—— Guido van Rossum

你离计算机代数只差一行 Python 代码：

from sympy import *

微积分

求导

拿 \(\displaystyle\frac{d}{d x} 2^{\operatorname{arctan}{\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}}\) 这个来说

# 初始化一下打印
init_printing()
# 声明一下符号
x = symbols('x')
# 定义一个式子
expr = Derivative(2**atan((1-x**2)/(1+x**2)), x)
# 让 sympy 来求解
print(expr.doit())

然后我们就得到了

\[- 2^{\operatorname{arctan}{\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}}\ln2\cdot\frac{2x}{x^{4} + 1}\]

求 \(\displaystyle e^{x^{2} + y^{2}} \sin{\left(x y \right)}\) 这个的偏导也可以：

init_printing()
x, y = symbols('x y')
expr = E**(x**2+y**2)*sin(x*y)
# 分别对 x、对 y 和先对 x 再对 y 求偏导
print(diff(expr, x), diff(expr, y))
print(diff(expr, x, y))

然后就分别得到了 \[\begin{array}{c}2 x e^{x^{2} + y^{2}} \sin{\left(x y \right)} + y e^{x^{2} + y^{2}} \cos{\left(x y \right)}\\ e^{x^{2} + y^{2}} \cos{\left(x y \right)} + 2 y e^{x^{2} + y^{2}} \sin{\left(x y \right)}\\ \left(3 x y \sin{\left(x y \right)} + \left(2 x^{2} + 2 y^{2} + 1\right) \cos{\left(x y \right)}\right) e^{x^{2} + y^{2}}\end{array}\]

完美！

积分

# 对象形式
Integral(expr, (var, lower, upper))
# 函数形式
integrate(expr, (var, lower, upper))

比如说这个不定积分 \(\displaystyle\int \frac{\ln{\frac{1+x}{1-x}}}{1 - x^{2}}\, dx\)：

integ = Integral(1/(1-x**2)*log((1+x)/(1-x)), x)
print(integ.doit())

最后输出（可以注意到默认都是不带任意常数 \(C\) 的）： \[\frac{1}{4}{\left(\ln{\frac{x + 1}{1 - x}}\right)}^2\]

对这个不定积分 \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}\, dx\) 则是传入一个三元组：

integrate((x**3)/sqrt(x**2+1), (x, 0, 1))

极限

SymPy 使用 oo 来表示 \(\infty\)（没错就是两个 o），类似于 \(\infty - \infty\) 和 \(\dfrac\infty\infty\) 这种则返回 nan （不是一个数，Not a Number）

Talk is cheap, show me the code.

—— Linus Torvalds

求重要极限 \(\lim\limits_{x\to\infty}{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}^{x}\)

# 对象形式
Limit((1+1/x)**x, x, oo)
# 函数形式
limit((1+1/x)**x, x, oo)

求单侧极限 \(\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}\) 和 \(\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}\)

limit(1/x, x, 0, '+')
limit(1/x, x, 0, '-')

打印

自动选择打印方式：

init_printing()

不同打印方式对应的代码：

打印方式	代码
ASCII 字符	pprint(expr, use_unicode = False)
Unicode 字符	pprint(expr, use_unicode = True)
\(\LaTeX\)	print(latex(expr))
MathML	from sympy.printing.mathml import print_mathml print_mathml(expr)

化简

函数	功能
simplify(expr)	最简单的化简函数，但是有可能会很慢
expand(poly)	用来展开多项式
factor(poly)	因式分解多项式
collect(expr, factor)	从 expr 表达式中提出 factor
cancel(rational)	把分式化简并展开
apart(rational)	对分式作部分分式分解
trigsimp(expr)	化简三角函数表达式
expand_trig(expr)	展开三角函数表达式
powsimp(expr)	化简幂表达式
powdenest(expr)	\({x}^{a^b}\) 化简成 \(x^{ab}\)
expand_log(expr)	展开对数表达式
logcombine(expr)	\(\log{x}+\log{y}\) 合并成 \(\log{xy}\)
combsimp(expr)	对组合数化简